Question

【题目】已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.

(1)求实数m的取值范围;

(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).

Answer 1

【答案】(1)m<-或m>.(2)

【解析】试题分析：（1）设直线的方程为，代入椭圆方程消去，设，可得，设线段的中点，利用中点坐标公式及其根与系数的可得，代入直线，可得，代入，即可解出 的范围；（2）结合（1）， 换元后根据韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式，利用三角形面积公式，将三角形面积用 表示，再利用二次函数配方法即可得出三角形面积的最大值.

试题解析： (1) 由题意知m≠0,

可设直线AB的方程为y=-x+b.

由 消去y,得 + x2- x+b2-1=0.

因为直线y=- x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点, 所以Δ=-2b2+2+ >0,①

将线段AB中点M（, ）代入直线方程y=mx+,解得b=-.②

由①②得m<-或m>.

(2)令t=∈（-,0）∪（0, ）,

则|AB|=·,

且O到直线AB的距离为d=.

设△AOB的面积为S(t),

所以S(t)= |AB|·d=≤.

当且仅当t2=时,等号成立.

故△AOB面积的最大值为.

【方法点晴】本题主要考查直线与椭圆的位置关系及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用配方法法求三角形面积最值的.