题目内容
【题目】已知函数.
(1)判断函数的单调性;
(2)若,当
时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
试题分析:(1)对函数求导来利用,
得出函数的单调区间,这里注意对
的讨论;(2)要让
恒成立,应猜想函数
在
上单调递增或递减,而
或
恒成立;所以下面要做的是看
,或
恒成立,然后再看
在
上单调性.
试题解析:(1),则
.
当时,对
,有
,所以函数
在区间
上单调递增;
当时,由
,得
,由
,得
,
此时函数的单调递增区间为
,单调递减区间为
,
综上,当时,函数
的单调递增区间为
,无单调递减区间;
当时,函数
的单调递增区间为
,
单调递减区间为.
(2)易知当时,
,故当
.
先分析证明:.
要证,只需证
,即证
,
构造函数,则
,
故函数在
上单调递增,所以
,则
成立.
当时,由(1)知,
在
上单调递增,则
在
上恒成立;
当是地,由(1)知,函数
在
上单调递增,在
上单调递减.
故当时,
,所以
,则不满足题意.
所以满足题意的实数的取值范围是
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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