题目内容
【题目】如图,已知椭圆:
的左、右焦点分别为
、
,过点
、
分别作两条平行直线
、
交椭圆
于点
、
、
、
.
(1)求证:;
(2)求四边形面积的最大值.
【答案】(1)证明见解析;(2)的最大值为6.
【解析】
试题分析:(1)圆锥曲线中证明两线段相等,一般要用解析法,计算这两条线段的长度得相等结论,直线斜率不可能为0,因此可设设
,
,
:
.所
代入椭圆方程得出
的一元二次方程,从而得
,由圆锥曲线上的弦长公式得
,同理
方程为
,并设
,
,最后计算出
,它们相等;(2)原点
实质上是平行四边形
对角线的交点,而
,从而可得
,设
,因此只要求得
的最小值,即可得结论,此最小值可用函数的单调性得出(可先用基本不等式求解,发现基本不等式中等号不能取到).
试题解析:(1)设,
,
:
.
联立得
.
∴,
.
设,
,由
,得
:
.
联立得
.
∴,
.
∴,
.
∴.
而,
,
∴.
(2)由(1)知四边形为平行四边形,
,且
.
∴
.
设(
),
,
∴在
上单调递增,
∴.
故的最大值为6,此时
.
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