Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，P是⊙O所在平面外一点，PA垂直于⊙O所在平面，且PA=AB=10，设点C为⊙O上异于A、B的任意一点．

（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若AC=6，求三棱锥C﹣PAB的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，点C为⊙O上异于A、B的任意一点，

∴AC⊥BC，

∵P是⊙O所在平面外一点，PA垂直于⊙O所在平面，BC⊙O所在平面，

∴BC⊥PA，

∵AC∩PA=A，

∴BC⊥平面PAC

（2）解：∵AC=6，PA=AB=10，

∴BC= =8，

∵PA垂直于⊙O所在平面，∴PA⊥平面ABC，

又PA平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC，

∴点C到AB的距离d即为点C到平面PAB的距离，

∵ = ，

∴d= = = ，

又S△PAB= =50，

∴三棱锥C﹣PAB的体积V= = =80

【解析】（1）由圆的性质得AC⊥BC，由线面垂直得BC⊥PA，由此能证明BC⊥平面PAC．（2）由勾股和得BC=8，推导出平面PAB⊥平面ABC，从而点C到AB的距离d即为点C到平面PAB的距离，由此能求出三棱锥C﹣PAB的体积．
【考点精析】利用直线与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．