Question

【题目】将一个半径适当的小球放入如图所示的容器自上方的入口处，小球自由下落，小气在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是 ，
（1）分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；
（2）在容器 入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球个数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）

解：记“小球落入A袋中”为事件M”，小球落入B袋中”为事件N，则事件M的对立事件N，

而小球落入A袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，

故P（M）= + = ，

从而P（N）=1﹣P（M）=1﹣ = ．

（2）

解：显然，随机变量ξ的所有可能的取值为0，1，2，3，4

且B（4， ），

故P（ξ=0）= ×（ ）0×（ ）4= ，

P（ξ=1）= ×（ ）1×（ ）3= ，

P（ξ=2）= ×（ ）2×（ ）2= ，

P（ξ=3）= ×（ ）3×（ ）1= ，

P（ξ=4）= ×（ ）4×（ ）0= ，

则ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P

故ξ的数学期望为E（ξ）=4× =

【解析】（1）设出“小球落入A袋中”为事件M”，小球落入B袋中”为事件N，则事件M的对立事件N，而小球落入A袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，运用对立事件求解即可．（2）确定随机变量ξ的所有可能的取值为0，1，2，3，4判断出二项分布，得出B（4， ），运用概率公式求解即可．
【考点精析】掌握离散型随机变量及其分布列是解答本题的根本，需要知道在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．