题目内容

11.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S1,S3,S2成等差数列,且a1-a3=3,
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)求Sn,并求满足Sn≤2的n的值.

分析 (I)设等比数列{an}的公比为q,由S1,S3,S2成等差数列,且a1-a3=3,可得2S3=S1+S2即$2{a}_{1}(1+q+{q}^{2})$=a1(2+q),${a}_{1}(1-{q}^{2})$=3,解出即可得出.
(II)利用等比数列的前n项和公式,并对n分类讨论即可得出.

解答 解:(I)设等比数列{an}的公比为q,∵S1,S3,S2成等差数列,且a1-a3=3,
∴2S3=S1+S2即$2{a}_{1}(1+q+{q}^{2})$=a1(2+q),${a}_{1}(1-{q}^{2})$=3,
解得a1=4,q=-$\frac{1}{2}$.
∴${a}_{n}=4×(-\frac{1}{2})^{n-1}$.
(II)Sn=$\frac{4[1-(-\frac{1}{2})^{n}]}{1-(-\frac{1}{2})}$=$\frac{8}{3}[1-(-\frac{1}{2})^{n}]$.,
当n为奇数时不满足,
当n为偶数时,Sn=$\frac{8}{3}[1-(-\frac{1}{2})^{n}]$=$\frac{8}{3}$$(1-\frac{1}{{2}^{n}})$≤2,
解得n=2.

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其的前n项和公式、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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