Question

（本小题满分14分）
已知位于轴右侧的圆C与相切于点P（0,1），与轴相交于点A、B，且被轴分成的两段弧之比为1﹕2（如图所示）.
（I）求圆C的方程；
（II）若经过点（1,0）的直线与圆C相交于点E、F，且以线段EF为直径的圆恰好过圆心C，求直线的方程.

Answer 1

解：（I）因为圆C位于轴右侧，且与相切于点P（0,1），
所以圆心C在直线上.
又圆C被轴分成的两段弧之比为1﹕2，所以.  ……………………….3分
所以PC=AC=BC=2，圆心C的坐标为（2,1）.
所求圆C的方程为.   ……………………………………………6分（II）①若直线斜率存在，设直线的方程为，即.
因为线段EF为直径的圆恰好过圆心C，所以ECFC.
因此.        …………………………………………………………………8分
圆心C（2,1）到直线的距离.
由得.   
故所求直线的方程为，即.    ………………………11分
②若直线斜率不存在，此时直线的方程为，点E、F的坐标分别为、，可以验证不满足条件.       …………………………………………..13分
故所求直线的方程为.  ……………………………………14分

解析