Question

【题目】已知函数f（x）=ax2+ +5（常数a，b∈R）满足f（1）+f（﹣1）=14．
（1）求出a的值，并就常数b的不同取值讨论函数f（x）奇偶性；
（2）若f（x）在区间（﹣∞，﹣ ）上单调递减，求b的最小值；
（3）在（2）的条件下，当b取最小值时，证明：f（x）恰有一个零点q且存在递增的正整数数列{an}，使得 =q +q +q +…+q +…成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（1）+f（﹣1）=14得（a+b+5）+（a﹣b+5）=14，所以解得a=2；

所以f（x）= ，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）；

当b=0时，对于定义域内的任意x，有f（﹣x）=f（x）=2x2+5，所以f（x）为偶函数．

当b≠0时，f（1）+f（﹣1）=14≠0，所以f（﹣1）≠﹣f（1），所以f（x）不是奇函数；f（﹣1）﹣f（1）=﹣2b≠0，所以f（x）不是偶函数；

所以，b=0时f（x）为偶函数，b≠0时，f（x）为非奇非偶函数

（2）解：f′（x）= = =0，解得x= ，所以x∈（﹣∞， ）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞， ）上单调递减，又f（x）在（﹣∞，﹣ ）上单调递减，所以 ，解得 b≥﹣2，所以b的最小值是﹣2
（3）解：在（2）的条件下，f（x）= ；

当 x＜0时，f（x）＞0恒成立，函数f（x）在（﹣∞，0）上无零点；

当 x＞0时，f′（x）= ＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）上递增，又f（ ）= ＜0，f（1）=5＞0；

∴f（x）在（ ，1）上有一个零点q，即q∈ ，且f（q）=2 =0，整理成 ，所以 ；

又 +…，所以 +…，且an=3n﹣2

【解析】（1）根据条件很容易求出a，讨论奇偶性根据定义即可，注意对于非奇非偶的，要举出反例．（2）利用导数求出f（x）的单调区间，再与所给单调区间比较即可求b的最小值．（3）说f（x）有一个零点，所以我们先来找f（x）的零点，找到之后再看怎样让它满足所给等式即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的奇偶性和利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称；一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．