Question

【题目】已知函数f（x）=x+ +3，x∈N* ， 在x=5时取到最小值，则实数a的所有取值的集合为 ．

Answer 1

【答案】[20，30]
【解析】解：∵f（x）=x+ +3，x∈N* ，
∴f′（x）=1﹣ = ，
当a≤0时，f′（x）≥0，函数f（x）为增函数，最小值为f（x）min=f（1）=4+a，不满足题意，
当a＞0时，令f′（x）=0，解得x= ，
当0＜x＜ 时，即f′（x）＜0，函数单调递减，
当x＞ 时，即f′（x）＞0，函数单调递增，
∴当x= 时取最小值，
∵x∈N* ，
∴x取离 最近的正整数使f（x）达到最小，
∵x=5时取到最小值，
∴5＜ ＜6，或4＜ ≤5
∴f（5）≤f（6）且f（4）≥f（5），
∴4+ +3≥5+ +3且5+ +3≤6+ +3
解得20≤a≤30
所以答案是：[20，30]
【考点精析】利用函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种．