Question

【题目】已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足f（mn）=f（m）+f（n）（m，n＞0），且当x＞1时，有f（x）＞0．
①求证：f（ ）=f（m）﹣f（n）；
②求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
③比较f（ ）与 的大小．

Answer 1

【答案】证明：①∵f（m）=f（n ）=f（ ）+f（n），
∴f（ ）=f（m）﹣f（n）；
②任取x1 ， x2∈（0，+∞），且x1＜x2 ， 则 ，
∵x1＜x2 ， ∴ ，
∴ ，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
③f（ ）﹣ = f（ ）+ f（ ）﹣
= （f（ ）﹣f（m））+ （f（ ）﹣f（n））
= f（ ）+ f（ ）= f（ ），
∵
故
【解析】①利用抽象函数的关系进行递推即可．②根据函数单调性的定义，利用定义法进行证明即可，③利用作差法结合抽象函数的关系进行证明即可．