Question

17．已知函数f（x）=x²-2ax+b²的最小值为0，若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（t，t+4），则实数c的值为4．

Answer 1

分析 根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为mt，t+4，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．

解答 解：∵函数f（x）=x²-2ax+b²的最小值为0，
∴$\frac{4{b}^{2}-4{a}^{2}}{4}$=0，∴b²=a²，
∵不等式f（x）＜c的解集为（t，t+4），
即为（x-a）²＜c解集为（t，t+4），
则（x-a）²=c的两个根为t，t+4，
∴|t+4-t|=2$\sqrt{c}$，
解得c=4，
故答案为：4．

点评 本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题．