题目内容
3.设二次函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),f(1)=0,且1≤x≤3时,f(x)≤0恒成立,f(x)是区间[2,+∞)是增函数.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若|f(m)|=|f(n)|,且m<n<2,u=m+n,求u的取值范围.
分析 (Ⅰ)由已知f(1)=0,可得c=-b-1,f(x)=x2+bx-b-1=(x-1)(x+b+1),利用1≤x≤3时,f(x)≤0恒成立,f(x)是区间[2,+∞)是增函数,求出b.即可求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若|f(m)|=|f(n)|,且m<n<2,f(m)=-f(n),可得(m-2)2+(n-2)2=2(m<n<2),u=m+n,即可求u的取值范围.
解答 解:(Ⅰ)由已知f(1)≥0与f(1)≤0同时成立,则必有f(1)=0,故b+c+1=0.
∴c=-b-1,
∴f(x)=x2+bx-b-1=(x-1)(x+b+1),
∵1≤x≤3时,f(x)≤0恒成立,
∴-b-1≥3,
∴b≤-4,
∵f(x)是区间[2,+∞)是增函数,
∴-$\frac{b}{2}$≤2,
∴b≥-4,
∴b=-4,c=3,
∴f(x)=x2-4x+3;
(Ⅱ)∵f(x)=x2-4x+3,
∴函数在(-∞,2)上单调递减,
∵|f(m)|=|f(n)|,且m<n<2,
∴f(m)=-f(n),
∴m2-4m+3=-n2+4n-3,
∴(m-2)2+(n-2)2=2(m<n<2)
u=m+n与圆弧相切时,切点为(1,1),u=2,
直线过点(2,2-$\sqrt{2}$)时,u=4-$\sqrt{2}$,
∴u的取值范围是[2,4-$\sqrt{2}$).
点评 本题考查函数的解析式,考查二次函数的性质,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
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