Question

3．一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积是（　　）

• A． 8
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 4+2$\sqrt{3}$
• D． 4+2$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由三视图可知：原几何体是一个如图所示的三棱锥，点O为边AC的中点，且PO⊥底面ABC，OB⊥AC，PO=AC=OB=2．据此可计算出该棱锥的全面积．

解答 解：由三视图可知：原几何体是一个如图所示的三棱锥，点O为边AC的中点，且PO⊥底面ABC，OB⊥AC，PO=AC=OB=2．
可求得S_△PAC=$\frac{1}{2}$×2×2=2，S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×2=2．
∵PO⊥AC，
∴在Rt△POA中，由勾股定理得PA=$\sqrt{5}$．
同理AB=BC=PC=PA=$\sqrt{5}$．
由PO⊥底面ABC，得PO⊥OB，
在Rt△POB中，由勾股定理得PB=2$\sqrt{2}$．
由于△PAB是一个腰长为$\sqrt{5}$，底边长为2$\sqrt{2}$的等腰三角形，可求得底边上的高h=$\sqrt{3}$．
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$=$\sqrt{6}$．
同理S_△PBC=$\sqrt{6}$．
故该棱锥的全面积=2+2+$\sqrt{6}$+$\sqrt{6}$=4+2$\sqrt{6}$．
故选：D

点评 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．