Question

【题目】已知椭圆： （）的上、下两个焦点分别为， ，过的直线交椭圆于， 两点，且的周长为8，椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知为坐标原点，直线： 与椭圆有且仅有一个公共点，点， 是直线上的两点，且， ，求四边形面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）4.

【解析】试题分析：（1）首先根据椭圆中焦点三角形周长结论可得，，然后由，即可得椭圆的基本量求解方程（2）直线与椭圆只有一个交点，则联立后方程=0得m，k的关系式，然后由点到直线距离公式得d1，d2，写出四边形的面积，将各量代入化简求解即可

试题解析：

（1）因为的周长为8，所以，所以.又因为，所以，所以，

所以椭圆的标准方程为.

（2）将直线的方程代入到椭圆方程中，得 .

由直线与椭圆仅有一个公共点，知 ，化简得.

设， ，

所以 ，

，

所以

.

因为四边形的面积，

所以

.

令（），则

，

所以当时， 取得最大值为16，故，即四边形面积的最大值为4.