题目内容
如图,已知椭圆x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设P是椭圆上异于A、B的任意一点,PH⊥x轴,H为垂足,延长HP到点Q使得HP=PQ,连接AQ延长交直线l于点M,N为MB的中点.试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系.
分析:(1)将直线方程整理得,解方程组求得直线所经过的定点,进而求得b,进而根据离心率求得a,则椭圆的方程可得.
(2)设P(x0,y0)代入椭圆方程,进而表示出Q的坐标,求得|OQ|推断出Q点在以O为圆心,2为半径的圆上.根据点A的坐标表示出直线AQ的方程,令x=0,表示出M和N的坐标,代入
•
求得结果为0,进而可推知OQ⊥QN,推断出直线QN与圆O相切.
(2)设P(x0,y0)代入椭圆方程,进而表示出Q的坐标,求得|OQ|推断出Q点在以O为圆心,2为半径的圆上.根据点A的坐标表示出直线AQ的方程,令x=0,表示出M和N的坐标,代入
NQ |
OQ |
解答:解:(1)将(2-k)x-(1+2k)y+(1+2k)=0
整理得(-x-2y+2)k+2x-y+1=0
解方程组
得直线所经过的定点(0,1),所以b=1.
由离心率e=
得a=2.
所以椭圆的标准方程为
+y2=1.
(2)设P(x0,y0),则
+y02=1.
∵HP=PQ,∴Q(x0,2y0).∴OQ=
=2
∴Q点在以O为圆心,2为半径的圆上.
即Q点在以AB为直径的圆O上.
又A(-2,0),
∴直线AQ的方程为y=
(x+2).
令x=2,得M(2,
).又B(2,0),N为MB的中点,
∴N(2,
).
∴
=(x0,2y0),
=(x0-2,
).
∴
•
=x0(x0-2)+2y0•
=x0(x0-2)+
=x0(x0-2)+
=x0(x0-2)+x0(2-x0)=0.
∴
⊥
.∴直线QN与圆O相切.
整理得(-x-2y+2)k+2x-y+1=0
解方程组
|
得直线所经过的定点(0,1),所以b=1.
由离心率e=
| ||
2 |
所以椭圆的标准方程为
x2 |
4 |
(2)设P(x0,y0),则
x02 |
4 |
∵HP=PQ,∴Q(x0,2y0).∴OQ=
x02+(2y02) |
∴Q点在以O为圆心,2为半径的圆上.
即Q点在以AB为直径的圆O上.
又A(-2,0),
∴直线AQ的方程为y=
2y0 |
x0+2 |
令x=2,得M(2,
8y0 |
x0+2 |
∴N(2,
4y0 |
x0+2 |
∴
OQ |
NQ |
2x0y0 |
x0+2 |
∴
OQ |
NQ |
2x0y0 |
x0+2 |
4x0y02 |
x0+2 |
x0(4-x02) |
x0+2 |
=x0(x0-2)+x0(2-x0)=0.
∴
OQ |
NQ |
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.考查了考生综合分析问题和基本的运算能力.
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