题目内容

在平面直角坐标系中，若，且.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知定点，若斜率为的直线过点并与轨迹交于不同的两点，且对于轨迹上任意一点，都存在，使得成立，试求出满足条件的实数的值.

（1）；（2）.

解析试题分析：（1）设，则，，由可得，结合椭圆的定义可知，动点的轨迹是以为焦点，4为长轴长的椭圆，从而可以确定椭圆标准方程中的参数的取值，进而写出椭圆的方程即可；（2）设，直线：，联立直线的方程与（1）中椭圆的方程，消去得到，进而根据得，且，再计算出，然后由确定的横纵坐标，根据点在轨迹上，将点的坐标代入轨迹的方程并由的任意性，得到即，从中求解，并结合即可得到满足要求的的值.
试题解析：（1）设，则，
由可得
∴动点到两个定点的距离的和为4
∴轨迹是以为焦点的椭圆，且长轴长为
设该椭圆的方程为
则有且，所以
所以轨迹的方程为
（2）设，直线的方程为，代入
消去得
由得，且
∴
设点，由可得
∵点在上
∴

练习册系列答案
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已知抛物线x2＝4y的焦点为F，过焦点F且不平行于x轴的动直线交抛物线于A、B两点，抛物线在A、B两点处的切线交于点M.

(1)求证：A、M、B三点的横坐标成等差数列；
(2)设直线MF交该抛物线于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值．

根据下列条件，求双曲线方程．
(1)与双曲线＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)；
(2)与双曲线＝1有公共焦点，且过点(3，2)．

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．

(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点P(0，1)，Q(0，2)．设M、N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．

如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为.

(1)求椭圆的方程；
(2)是经过右焦点的任一弦(不经过点)，设直线与直线相交于点，记的斜率分别为.问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

如图，两条相交线段、的四个端点都在抛物线上，其中，直线的方程为，直线的方程为．

（1）若，，求的值；
（2）探究：是否存在常数，当变化时，恒有？

已知是椭圆的两个焦点，为坐标原点，点在椭圆上，且，⊙是以为直径的圆，直线：与⊙相切，并且与椭圆交于不同的两点

（1）求椭圆的标准方程；
（2）当，且满足时，求弦长的取值范围．

已知椭圆E:+=1(a>b>0),以抛物线y2=8x的焦点为顶点,且离心率为.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若F为椭圆E的左焦点,O为坐标原点,直线l:y=kx+m与椭圆E相交于A、B两点,与直线x=-4相交于Q点,P是椭圆E上一点且满足=+,证明·为定值,并求出该值.

设,分别是椭圆：的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于,两点, 到直线的距离为,连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，设是椭圆上的一点，过、两点的直线交轴于点,若, 求的取值范围；
（3）作直线与椭圆交于不同的两点,,其中点的坐标为,若点是线段垂直平分线上一点,且满足,求实数的值.

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