题目内容
已知是椭圆的两个焦点,为坐标原点,点在椭圆上,且,⊙是以为直径的圆,直线:与⊙相切,并且与椭圆交于不同的两点
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当,且满足时,求弦长的取值范围.
(1);(2).
解析试题分析:(1)求椭圆的标准方程,可利用待定系数法,求出的值即可,由已知,得,可得,把代入椭圆的方程,即可求出的值,从而得椭圆的标准方程;(2)当,且满足时,求弦长的取值范围,可利用弦长公式来求,设,由,得,得,由于同时含有,可消元,由直线:与⊙相切,可得,这样由弦长公式得,可求出的范围即可,由已知,且满足,由,可得,从而得的范围,进而得弦长的取值范围.
试题解析:(1)依题意,可知,∴,
解得
∴椭圆的方程为 5分
(2)直线:与⊙相切,
则,即, 6分
由,得,
∵直线与椭圆交于不同的两点
设∴,
,
∴ .9分
∴∴,
∴ .11分
设,
则,
∵在上单调递增∴ 13分
考点:椭圆的方程,直线与二次曲线的位置关系.
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