题目内容
已知椭圆E:+=1(a>b>0),以抛物线y2=8x的焦点为顶点,且离心率为.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若F为椭圆E的左焦点,O为坐标原点,直线l:y=kx+m与椭圆E相交于A、B两点,与直线x=-4相交于Q点,P是椭圆E上一点且满足=+,证明·为定值,并求出该值.
(1)+=1 (2),证明见解析
解析解:(1)抛物线y2=8x的焦点为(2,0),
又椭圆以抛物线焦点为顶点,
∴a=2,
又e==,
∴c=1,∴b2=3.
∴椭圆E的方程为+=1.
(2)由(1)知,F(-1,0),
由
消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.
∵l与椭圆交于两点,
∴Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,
即m2<4k2+3.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1、x2是上述方程的两个根,
∴x1+x2=-,x1·x2=,
又y1+y2=kx1+m+kx2+m
=k(x1+x2)+2m
=
∴=+=(-,),
由点P在椭圆上,得+=1.
整理得4m2=3+4k2,
又Q(-4,-4k+m),
∴=(-3,-4k+m).
∴·=(-,)·(-3,m-4k)
=+
=
=.
即·为定值.
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