题目内容
设,分别是椭圆:的左、右焦点,过作倾斜角为的直线交椭圆于,两点, 到直线的距离为,连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点,设是椭圆上的一点,过、两点的直线交轴于点,若, 求的取值范围;
(3)作直线与椭圆交于不同的两点,,其中点的坐标为,若点是线段垂直平分线上一点,且满足,求实数的值.
(1);(2)或; (3)满足条件的实数的值为或.
解析试题分析:(1)设,的坐标分别为,其中
由题意得的方程为:
根据到直线的距离为,可求得,
将与联立即可得到.
(2)设,,由可得,代人椭圆的方程得,即可解得或.
(3)由, 设,根据题意可知直线的斜率存在,可设直线斜率为,则直线的方程为,代入椭圆的方程,整理得:
由韦达定理得,则,
得到线段的中点坐标为.注意讨论,的情况,确定的表达式,求得实数的值.
方法比较明确,运算繁琐些;分类讨论是易错之处.
试题解析:(1)设,的坐标分别为,其中
由题意得的方程为:
因到直线的距离为,所以有,解得 2分
所以有 ①
由题意知: ,即 ②
联立①②解得:
所求椭圆的方程为 4分
(2)由(1)知椭圆的方程为
设,,由于,所以有
7分
又是椭圆上的一点,则
所以
解得:或<
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