题目内容
设,
分别是椭圆
:
的左、右焦点,过
作倾斜角为
的直线交椭圆
于
,
两点,
到直线
的距离为
,连接椭圆
的四个顶点得到的菱形面积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点,设
是椭圆
上的一点,过
、
两点的直线
交
轴于点
,若
, 求
的取值范围;
(3)作直线与椭圆
交于不同的两点
,
,其中
点的坐标为
,若点
是线段
垂直平分线上一点,且满足
,求实数
的值.
(1);(2)
或
; (3)满足条件的实数
的值为
或
.
解析试题分析:(1)设,
的坐标分别为
,其中
由题意得的方程为:
根据到直线
的距离为
,可求得
,
将与
联立即可得到
.
(2)设,
,由
可得
,代人椭圆
的方程得
,即可解得
或
.
(3)由, 设
,根据题意可知直线
的斜率存在,可设直线斜率为
,则直线
的方程为
,代入椭圆
的方程,整理得:
由韦达定理得,则
,
得到线段的中点坐标为
.注意讨论
,
的情况,确定
的表达式,求得实数
的值.
方法比较明确,运算繁琐些;分类讨论是易错之处.
试题解析:(1)设,
的坐标分别为
,其中
由题意得的方程为:
因到直线
的距离为
,所以有
,解得
2分
所以有 ①
由题意知: ,即
②
联立①②解得:
所求椭圆的方程为
4分
(2)由(1)知椭圆的方程为
设,
,由于
,所以有
7分
又是椭圆
上的一点,则
所以
解得:或<
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