题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)若点在函数
的图象上运动,直线
与函数
的图象不相交,求点
到直线
距离的最小值;
(Ⅱ)若当时,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
(I)先求得函数的定义域,然后利用导数求得函数对应图像上与
平行的切线方程,利用两平行线间的距离公式求得
到直线
距离的最小值.(II)(1)构造函数
,利用
的导函数,对
分类讨论函数
的单调性,结合
求得
的取值范围. (2)将
分类常数,转化为
,利用导数求得
的最小值,由此求得
的范围.结合(1)(2)可求得
的的取值范围.
(Ⅰ)的定义域为
,
.
由题意,令,得
,解得
或
(舍去),∵
,
∴到直线
的距离
为所求的最小值.
(Ⅱ)(1)当,
恒成立时,设
,
.
①当即
时,
,
,
,
所以,即
在
上是增函数.
又,即
,∴
时满足题意.
②当即
时,
令.因为
,所以存在
,使
.
当时,
,即
,
在
上是减函数,
,
∴时,
不恒成立;
(2)当,
恒成立时,
.
设,
,
,
,
,
,
∴在
上是减函数,在
上是增函数,
,∴
.
综上所述,的取值范围是
.

【题目】户外运动已经成为一种时尚运动,某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关,决定从本单位全体650人中采用分层抽样的办法抽取50人进行问卷调查,得到了如下列联表:
喜欢户外运动 | 不喜欢户外运动 | 总计 | |
男性 | 5 | ||
女性 | 10 | ||
总计 | 50 |
已知在这50人中随机抽取1人,抽到喜欢户外运动的员工的概率是.
(1)请将上面的列联表补充完整;
(2)求该公司男、女员工各多少人;
(3)在犯错误的概率不超过0.005的前提下能否认为喜欢户外运动与性别有关?并说明你的理由.
下面的临界值表仅供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中
)
【题目】随着手机的发展,“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式.某机构对“使用微信支付”的态度进行调查,随机抽取了50人,他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如下表.
年龄(单位:岁) |
|
|
|
|
| |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
(1)若以“年龄45岁为分界点”,由以上统计数据完成下面列联表,并判断是否有99%
年龄不低于45岁的人数 | 年龄低于45岁的人数 | 合计 | |
赞成 | |||
不赞成 | |||
合计 |
(2)若从年龄在的被调查人中按照赞成与不赞成分层抽样,抽样人数分别3人与2人,现对抽样的5人进行追踪调查,在5人中抽取3人做专访,求3人中不赞成使用微信支付的人数的分布列和期望值.
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,其中
.