题目内容
【题目】已知二次函数(
、
为常数且
),满足条件
,且方程
有等根.
(1)若,
恒成立,求实数
的取值范围;
(2)是否存在实数,
,使
当定义域为
时,值域为
?如果存在,求出
,
的值;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)存在
,
满足题意,详见解析
【解析】
(1)由已知中,可得
的图象关于直线
对称,结合方程
有等根其
,我们可构造关于
的方程组,解方程组求出
的值,即可得到
的解析式,然后针对
,
恒成立,转化为函数
在
上恒成立,求其最小值,列不等式求出实数
的取值范围;
(2)由(1)中函数的解析式,我们根据的定义域和值域分别为
和
,我们易判断出函数在
的单调性,进而构造出满足条件的方程,解方程即可得到答案.
解:(1)满足
,
的图像关于直线
对称,
,①
又方程有等根,即
有等根,
,②
由①②得,
,
令,
则在
上恒成立,
所以,
解得;
(2)由(1)可得,
假设存在、
,使
当定义域为
时,值域为
,
则必有,即
,即
必在对称轴的左侧,且
在
单调递增,
所以,又由
,
解得,
所以存在,
满足题意.
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练习册系列答案
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【题目】某车间20名工人年龄数据如下表:
年龄(岁) | 19 | 24 | 26 | 30 | 34 | 35 | 40 | 合计 |
工人数(人) | 1 | 3 | 3 | 5 | 4 | 3 | 1 | 20 |
(1)求这20名工人年龄的众数与平均数;
(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图;
(3)从年龄在24和26的工人中随机抽取2人,求这2人均是24岁的概率.