题目内容
【题目】已知集合M是满足下列条件的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立.给出如下函数:①f(x)=x;②f(x)=2x;③f(x)= ;④f(x)=x2;则属于集合M的函数个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】A
【解析】解:①若f(x)=x,
则f(x+T)=x+T,Tf(x)=Tx,
∴x+T=Tx,不可能成立,不存在非零常数T,使f(x+T)=Tf(x)成立,则①不属于集合M的函数;
②f(x)=2x;
则f(x+T)=2x+T=2T2x ,
由f(x+T)=Tf(x)得2T2x=T2x ,
即2T=T,
作出函数y=2x和y=x的图象,由图象知两个函数没有交点,
即方程2T=T无解,
∴不存在非零常数T,使f(x+T)=Tf(x)成立,则②不属于集合M的函数;
③若f(x)= ,
则f(x+T)=( )x+T=(
)T(
)x ,
由f(x+T)=Tf(x)得( )T(
)x=T(
)x ,
即( )T=T,
作出函数y=( )x和y=x的图象,由图象知两个函数有1个交点,
即方程( )T=T有一个解,
∴存在非零常数T,使f(x+T)=Tf(x)成立,则③属于集合M的函数;
④f(x)=x2;
则f(x+T)=(x+T)2 ,
由f(x+T)=Tf(x)得(x+T)2=Tx2 ,
即x2+2xT+T2=Tx2 ,
则方程x2+2xT+T2=Tx2 , 不可能恒成立,
∴不存在非零常数T,使f(x+T)=Tf(x)成立,则④不属于集合M的函数.
故选:A.
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