题目内容

15.已知在△ABC中,内角∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,且$\frac{b}{a+c}$=$\frac{a+b-c}{a+b}$.
(1)求∠A;
(2)若b=5,$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CB}$=5,求△ABC的面积.

分析 (1)整理原等式利用余弦定理求得cosA的值,进而求得A.
(2)利用向量的数量积运算公式和余弦定理求得a和c 关系式,与第一问中关系式求得c,进而利用三角形面积公式求得答案.

解答 解:(1)∵$\frac{b}{a+c}$=$\frac{a+b-c}{a+b}$,
∴ab+b2=a2+ab-ac+ac+bc-c2
∴b2=a2+bc-c2,①
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$,
∴A=$\frac{π}{3}$;
(2)$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CB}$=|AC|•|CB|cosC=b•a•cosC=ab•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=5,
∴a2-c2=-15,②,
①②联立求得c=8,a=7,
∴三角形面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×5×8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$.

点评 本题主要考查了余弦定理的运用,向量的数量积的运算公式的运用.解题过程中灵活运用边的关系,利用余弦定理建立方程求得即可.

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