Question

（2013•宿迁一模）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，已知AB，CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的 垂直平分线，若AB=6，CD=2

5

，求线段AC的长度．
B．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵M=

2 1 1 a

的一个特征值是3，求直线x-2y-3=0在M作用下的新直线方程．
C．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是

x=cosα y=sinα+1

（α是参数），若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．
D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知关于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1的解集为R，求正实数a的取值范围．

Answer 1

分析：A：设AB和 CD交与点E，设AE=x，由题意可得AB是直径，EB=6-x，CE=5．由射影定理求出x的值，从而求得AC的值．
B：由矩阵M=

2 1 1 a

的一个特征值是3，求得 a=2，M=

2 1 1 2

．设直线x-2y-3=0上的任意一点（x，y）在M作用下的对应点为（x′，y′），则有 

2 1 1 2

x y

=

x′ y′

，
即

x= 2 3 x′- 1 3 y′ y= 2 3 y′- 1 3 x′

，代人x-2y-3=0，整理可得新直线方程．
C：由参数方程消去参数，化为普通方程，求出圆心和半径，可得在极坐标系下，曲线C是以(1，

π

2

)为圆心，半径等于1的圆，从而求得它的极坐标方程．
D：因为|ax-1|+|ax-a|≥|a-1|，故原不等式解集为R，等价于|a-1|≥1，由此求得a的范围，即为所求．

解答：解：A：连接BC，设AB和 CD交与点E，设AE=x，∵AB是线段CD的 垂直平分线，故AB是直径，∠ACB=90°，故 EB=6-x，CE=5．
由射影定理可得 CE²=AE•EB，即 x（6-x）=5，解得x=1（舍去），或 x=5．
∴AC²=AE•AB=5×6=30，∴AC=

30

．
B：∵已知矩阵M=

2 1 1 a

的一个特征值是3，∴f（λ）=

λ-2 -1

=（λ-2）（λ-a）-1=0，即 （3-2）（3-a）-1=0，
解得a=2，∴M=

2 1 1 2

．
设直线x-2y-3=0上的任意一点（x，y）在M作用下的对应点为（x′y′，），
则有  

2 1 1 2

 

x y

=

x′ y′

，整理得

2x+y=x′ x+2y=y′

，即

x= 2 3 x′- 1 3 y′ y= 2 3 y′- 1 3 x′

，代人x-2y-3=0，整理得4x'-5y'-9=0，
故所求直线方程为：4x-5y-9=0．
C：由

y=sinθ+1 x=cosθ

消去θ，得x²+（y-1）²=1，
曲线C是以（0，1）为圆心，半径等于1的圆． 
所以在极坐标系下，曲线C是以(1，

π

2

)为圆心，半径等于1的圆．
所以曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ．  
D：因为|ax-1|+|ax-a|≥|a-1|，故原不等式解集为R等价于|a-1|≥1．所以a≥2，或a≤0．
又因为a＞0，所以a≥2，所以正实数a的取值范围为[2，+∞）．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，与圆有关的比例线段，矩阵的特征值与特征向量，圆的参数方程、极坐标方程的应用，属于中档题．