Question

8．在公比大于1的等比数列{a_n}中，a₂=6，a₁+a₂+a₃=26，设c_n=a_n+b_n，且数列{c_n}是等差数列，b₁=a₁，b₃=-10．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q＞1，由a₂=6，a₁+a₂+a₃=26，可得$\frac{6}{q}+6+6q$=26，解得q即可得出．
（2）设等差数列{c_n}的公差为d，c_n=a_n+b_n，b₁=a₁，b₃=-10．可得c₁，c₃．利用等差数列的通项公式可得d．利用b_n=c_n-a_n即可得出．再利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q＞1，∵a₂=6，a₁+a₂+a₃=26，
∴$\frac{6}{q}+6+6q$=26，
化为3q²-10q+3=0，q＞1．
解得q=3，
∴a_n=${a}_{2}{q}^{n-2}$=6×3^n-2=2×3^n-1．
（2）设等差数列{c_n}的公差为d，
c_n=a_n+b_n，b₁=a₁，
∴c₁=2a₁=4．
c₃=a₃+b₃=18-10=8，
∴8=4+2d，解得d=2．
∴c_n=4+2（n-1）=2n+2．
∴b_n=c_n-a_n=2（n+1）-2×3^n-1．
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$2×\frac{n（n+3）}{2}$-2×$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$=n²+3n-3ⁿ+1．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题