题目内容

18.已知函数f(x)=(mx+1)(lnx-3).
(1)若m=1,求曲线y=f(x)在x=1的切线方程;
(2)设点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))满足lnx1•lnx2=3ln(x1•x2)-8,(x1≠x2),判断是否存在点P(m,0),使得∠APB为直角?说明理由;
(3)若函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,求实数m的取值范围.

分析 (1)通过m=1,求出取得坐标,切线的斜率,然后求曲线y=f(x)在x=1的切线方程;
(2)设点P(m,0),A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))满足lnx1•lnx2=ln(x1•x2)(x1≠x2),化简向量数量积的表达式,推出数量积是否为0,即可判断是否存在实数m,使得∠APB为直角;
(3)求出函数的导数,通过函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,导数大于等于0.构造新函数,通过新函数的值域,求解实数m的取值范围;

解答 解:(1)m=1,函数f(x)=(x+1)(lnx-3).
∴f(1)=-6,切点坐标(1,-6),
∴f′(x)=(lnx-3)+(x+1)$\frac{1}{x}$,
∴f′(1)=1,
∴切线方程为:y-6=x-1.
∴切线方程为x+y+5=0;
(2)依题意得$\overrightarrow{PA}$=(x1-m,f(x1)),$\overrightarrow{PB}$=(x2-m,f(x2)),
∴$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$=(x1-m)(x2-m)+f(x1)f(x2
=(x1-m)(x2-m)+(mx1+1)(lnx1-3)(mx2+1)(lnx2-3)
=x1x2-m(x1+x2)+m2+(m2x1x2+m(x1+x2)+1)(lnx1lnx2-3(lnx1+lnx2)+9)
=x1x2-m(x1+x2)+m2+(m2x1x2+m(x1+x2)+1)
=(1+m2)(x1x2+1)>0
∴不存在实数m,使得∠APB为直角;
(3)∵f′(x)=m(lnx-3)+(mx+1)$•\frac{1}{x}$=$\frac{mx(lnx-2)+1}{x}$,
若函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
有mx(lnx-2)+1≥0在(0,+∞)上恒成立,
设h(x)=x(lnx-2),
∴h′(x)=lnx-1,
∴h(x)在(0,e)是减函数,在(e,+∞)是增函数,
∴h(x)≥h(e)=-e,
∴h(x)值域[-e,+∞),
即mt+1≥0在t∈[-e,+∞)恒成立,
∴$\left\{\begin{array}{l}{m>0}\\{-me+1≥0}\end{array}\right.$,
解得0<m≤$\frac{1}{e}$.

点评 本题考查函数的导数的应用,切线方程的求法,函数恒成立,考查转化思想的应用.

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