Question

5．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，E为棱AB上的一动点．
（1）若E为棱AB的中点，
①求四棱锥B₁-BCDE的体积   
②求证：面B₁DC⊥面B₁DE
（2）若BC₁∥面B₁DE，求证：E为棱AB的中点．

Answer 1

分析 （1）①四棱锥B₁-BCDE的底面为直角梯形BEDC，棱锥的高为B₁B，代入体积公式即可；
②面B₁DC∩面B₁DE=B₁D，故只需在平面B₁DE找到垂直于交线B₁D的直线即可，由DE=B₁E=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a可易知所找直线为等腰△EB₁D底边中线；
（2）辅助线同上，由中位线定理可得OF∥DC，且OF=$\frac{1}{2}$DC，从而得出OF∥EB，由BC₁∥面B₁DE可得EO∥B₁C，故四边形OEBF是平行四边形，得出结论．

解答 证明：（1）①∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁∴B₁B平面BEDC，
∴V${\;}_{棱锥{B}_{1}-BCDE}$=$\frac{1}{3}$•S_梯形BCDE•B₁B=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$（a+$\frac{1}{2}a$）•a•a=$\frac{{a}^{3}}{4}$．
②取B₁D的中点O，设BC₁∩B₁C=F，连接OF，
∵O，F分别是B₁D与B₁C的中点，∴OF∥DC，且OF=$\frac{1}{2}$DC，
又∵E为AB中点，∴EB∥DC，且EB=$\frac{1}{2}$DC，
∴OF∥EB，OF=EB，即四边形OEBF是平行四边形，
∴OE∥BF，
∵DC⊥平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，
∴BC₁⊥DC，∴OE⊥DC．
又BC₁⊥B₁C，∴OE⊥B₁C，
又∵DC?平面B₁DC，B₁C?平面B₁DC，DC∩B₁C=C，
∴OE⊥平面B₁DC，
又∵OE?平面B₁DE，
∴平面B₁DC⊥面B₁DE．
（2）同上可证得，OF∥DC，且OF=$\frac{1}{2}$DC，
又∵EB∥DC，∴OF∥EB，
∴E，B，F，O四点共面．
∵BC₁∥平面B₁DE，B₁C?平面EBFO，平面EBFO∩平面B₁DE=OE，
∴EO∥B₁C，
∴四边形OEBF是平行四边形，∴OF=EB=$\frac{1}{2}$DC∴EB=$\frac{1}{2}$AB，
∴E为棱AB的中点．

点评 本题考查了线面平行的性质，线面垂直的判定和几何体体积，根据判定定理作出辅助线是解题的关键．