Question

15．已知三点P（5，2），F₁（-6，0），F₂（6，0）．
（1）求以F₁、F₂为焦点，且过点P的椭圆C的标准方程；
（2）求椭圆C中斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）由题意求出P与两焦点距离的和，得到a，结合c的值求得b，则椭圆方程可求；
（2）设出斜率为2的直线方程y=2x+m，和椭圆方程联立，由判别式大于0求得m的范围，再由根与系数的关系及中点坐标公式求得平行弦中点的轨迹的参数方程，消掉参数得答案．

解答 解：（1）∵P（5，2），F₁（-6，0），F₂（6，0），
∴$|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|=\sqrt{（-6-5）^{2}+（0-2）^{2}}$$+\sqrt{（6-5）^{2}+（0-2）^{2}}=6\sqrt{5}$＞|F₁F₂|，
∴2a=6$\sqrt{5}$，a=3$\sqrt{5}$，c=6，
则b²=a²-c²=9．
则过点P的椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{45}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）由题意可得斜率为2的直线方程为y=2x+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{45}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，得21x²+20mx+5m²-45=0，
则△=（20m）²-84（5m²-45）＞0，即$-3\sqrt{21}＜m＜3\sqrt{21}$．
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{20m}{21}$，y₁+y₂=2（x₁+x₂）+2m=$\frac{2m}{21}$．
∴平行弦中点的轨迹为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{10m}{21}}\\{y=\frac{m}{21}}\end{array}\right.$（$-3\sqrt{21}＜m＜3\sqrt{21}$），
消掉m得：y=-$\frac{1}{10}x$（-$\frac{10\sqrt{21}}{7}$$＜x＜\frac{10\sqrt{21}}{7}$）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，训练了直线的参数方程的求法，是中档题．