Question

【题目】在平面直角坐标系中， 的两个顶点的坐标分别为，三个内角满足.

（1）若顶点的轨迹为，求曲线的方程；

（2）若点为曲线上的一点，过点作曲线的切线交圆于不同的两点（其中在的右侧），求四边形面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）B点的轨迹方程为；（2）4.

【解析】试题分析：（1）利用正弦定理，将正弦化为边，得出，化简得，利用椭圆的定义得出B点的轨迹和轨迹方程；（2）设直线，联立直线和椭圆方程，由，求得，由韦达定理求出的表达式，设点O到直线MN的距离为d，求得，由直线与圆相交时的弦长公式，求出，求出三角形OMN的面积，再分别求出三角形NAO和三角形MCO的面积和，利用基本不等式求出四边形ACMN面积的最大值。

试题解析：（1）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 由正弦定理.∵，∴.

∵ ∴ 即.由椭圆定义知，B点轨迹是以C，A为焦点，长半轴长为2，半焦距为，短半轴长为，中心在原点的椭圆（除去左、右顶点）.

∴B点的轨迹方程为.

（2）易知直线的斜率存在，设，

，

，即，

因为,设点到直线的距离为，

则， ，

，

由，

，

，

，

.

而， ，易知， ，

， 时取到， .