Question

（本小题满分14分）已知函数(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数.

（Ⅰ）求实数a的值所组成的集合A；

（Ⅱ）设关于x的方程的两实数根为x₁、x₂,试问:是否存在实数m,使得不等式对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由?

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）A=[-1，1]；

（Ⅱ）存在实数m满足题意，m的取值范围为{m| m≥2或m≤-2}

【解析】（Ⅰ）

 

因为函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数,所以f^‘(x)≥0在区间x∈[-1,1]恒成立，即有x²-ax-2≤0在区间[-1,1]上恒成立。  

构造函数g(x)=x²-ax-2

∴满足题意的充要条件是：

所以所求的集合A=[-1，1] ………(7分)

（Ⅱ）由题意得：得到：x²-ax-2=0………(8分)

因为△=a²+8>0 所以方程恒有两个不等的根为x₁、x₂由根与系数的关系有：……(9分)

因为a∈A即a∈[-1，1]，所以 要使不等式 对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立，当且仅当对任意的t∈[-1,1]恒成立……(11分)

构造函数φ（x）=m2+tm-2=mt+(m2-2) ≥0对任意的t∈[-1,1]恒成立的充要条件是

 m≥2或m≤-2.故存在实数m满足题意且为{m| m≥2或m≤-2}为所求     （14分）