题目内容
定义在R上的函数f(x)满足f(6)=1,f′(x)为f(x)的导函数,已知y=f′(x)的图象如图所示.若两个正数a,b满足f(3a+2b)>1,则
的取值范围是( )
b-1 |
a+1 |
分析:先根据导函数的图象判断原函数的单调性,从而确定a、b的范围,最后利用线性规划的方法得到答案.
解答:解:由图可知,当x>0时,导函数f'(x)>0,原函数单调递增,
∵两正数a,b满足f(3a+2b)>1,且f(6)=1,
∴
,画出可行域如图.
k=
表示点Q(-1,1)与点P(x,y)连线的斜率,
当P点在A(2,0)时,k最小,最小值为:
=-
;
当P点在B(0,3)时,k最大,最大值为:
=2.
k的取值范围是(-
,2).
故选A.
∵两正数a,b满足f(3a+2b)>1,且f(6)=1,
∴
|
k=
b-1 |
a+1 |
当P点在A(2,0)时,k最小,最小值为:
1-0 |
-1-2 |
1 |
3 |
当P点在B(0,3)时,k最大,最大值为:
1-3 |
-1-0 |
k的取值范围是(-
1 |
3 |
故选A.
点评:本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减.
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