题目内容
11．下列命题中，正确的有①③④①△ABC中，A＞B的充分必要条件是sinA＞sinB；
②已知向量$\overrightarrow a=（λ，2λ），\overrightarrow b=（3λ，2）$，如果$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为钝角，则λ的取值范围是$λ＜-\frac{4}{3}$或λ＞0；
③若函数f（x）=x（x-c）2在x=2处有极大值，则c=6；
④在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则AC的取值范围为$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$．
分析 ①△ABC中，A＞B?a＞b，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，于是sinA＞sinB，即可判断出正误；
②如果$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为钝角，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＜0，且不能反向共线，可得3λ2+4λ＜0，且6λ2-2λ≠0，解出即可判断出正误；
③f′（x）=（x-c）2+2x（x-c）=（x-c）（3x-c），由于函数f（x）=x（x-c）2在x=2处有极大值，可得f′（2）=0，解得c=2或6，再进一步判断出即可；
④在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，若B是最大角，则$\frac{π}{2}＞$2A＞C=π-3A，可得$\frac{π}{5}＜A＜\frac{π}{4}$，由正弦定理可得：$\frac{1}{sinA}=\frac{AC}{sin2A}$，AC=2cosA．同理若C是最大角，则$\frac{π}{2}＞π-3A＞2A$＞0，可得$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{5}$，即可判断出真假．
解答 解：①△ABC中，A＞B?a＞b，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，于是sinA＞sinB，正确；
②如果$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为钝角，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＜0，且不能反向共线，∴3λ2+4λ＜0，且6λ2-2λ≠0，解得$-\frac{4}{3}＜λ＜0$，因此不正确；
③f′（x）=（x-c）2+2x（x-c）=（x-c）（3x-c），∵函数f（x）=x（x-c）2在x=2处有极大值，∴f′（2）=（2-c）（6-c）=0，解得c=2或6，当c=2时，函数f（x）在x=$\frac{2}{3}$处取得极大值，舍去；当c=6时，函数f（x）在x=2处取得极大值，正确．
④在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，若B是最大角，则$\frac{π}{2}＞$2A＞C=π-3A，可得$\frac{π}{5}＜A＜\frac{π}{4}$，由正弦定理可得：$\frac{1}{sinA}=\frac{AC}{sin2A}$，AC=2cosA＞$2sin\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$．若C是最大角，则$\frac{π}{2}＞π-3A＞2A$＞0，可得$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{5}$，由正弦定理可得：$\frac{1}{sinA}=\frac{AC}{sin2A}$，AC=2cosA$＜2cos\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$，综上可得：AC的取值范围为$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$．故正确．
综上可得：正确的命题为①③④．
故答案为：①③④．
点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、正弦定理的应用、利用导数研究函数的单调性与极值、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
| A． | （±2，0） | B． | （0，±2） | C． | （±2$\sqrt{3}$，0） | D． | （0，±2$\sqrt{3}$） |
| A． | $\sqrt{2}$+1 | B． | 2$\sqrt{2}$+1 | C． | $\sqrt{5+2\sqrt{2}}$ | D． | $\sqrt{5-2\sqrt{2}}$ |