Question

16．已知单位向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$满足$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=$\frac{1}{2}$．若（5$\overrightarrow{{e}_{1}}$-4$\overrightarrow{{e}_{2}}$）⊥（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$）（k∈R），则k=2，|$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 5$\overrightarrow{{e}_{1}}$-4$\overrightarrow{{e}_{2}}$）⊥（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$）（k∈R），可得（5$\overrightarrow{{e}_{1}}$-4$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=0，即可解出k．再利用数量积运算性质即可得出．

解答 解：∵（5$\overrightarrow{{e}_{1}}$-4$\overrightarrow{{e}_{2}}$）⊥（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$）（k∈R），
∴（5$\overrightarrow{{e}_{1}}$-4$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=$5{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$-4k${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$+$（5k-4）\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=5-4k+（5k-4）×$\frac{1}{2}$=0，
解得k=2．
∴|$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+{k}^{2}{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}+2k\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}+k}$=$\sqrt{7}$，
故答案分别为：2；$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．