Question

抛物线y²=4x上的点P到抛物线的准线距离为d₁，到直线3x-4y+9=0的距离为d₂，则d₁+d₂的最小值是

 

．

Answer 1

分析：设点P坐标为（x，y），由抛物线性质可知d₁=1+x．又根据点到直线的距离公式可得d₂=

|3x-8 x +9|

9+16

，进而可得到d₁+d₂表达式，再根据x的范围确定d₁+d₂的范围，求得最小值．

解答：解：y²=4x  p=2 准线为x=-1；设点P坐标为（x，y），到抛物线准线的距离是d₁=1+x．
d₂=

|3x-8 x +9|

9+16

∴d₁+d₂=

3x-8 x +9+5x

5

令

x

=t，上式得：

8t2-8t+14

5

=

[8(t- 1 2 )2+12]

5

但t=

1

2

，即x=

1

4

时，d1+d2有最小值

12

5

故答案为：

12

5

点评：本题主要考查了抛物线的性质及抛物线与直线的关系．要注意利用好抛物线的定义．