题目内容
如图,四边形与均为菱形,,且.
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)求二面角的余弦值.
(Ⅰ)连结FO.由四边形ABCD为菱形,得,且O为AC中点.
根据FA=FC,得到..
(Ⅱ)由四边形与均为菱形,
得到得出
平面, .
(Ⅲ)二面角A-FC-B的余弦值为.
解析试题分析:(Ⅰ)证明:设AC与BD相交于点O,连结FO.
因为四边形ABCD为菱形,所以,且O为AC中点.
又FA=FC,所以. 2分
因为,
所以. 3分
(Ⅱ)证明:因为四边形与均为菱形,
所以
因为
所以
又,
所以平面
又
所以. 6分
(Ⅲ)解:因为四边形BDEF为菱形,且,所以为等边三角形.
因为为中点,所以由(Ⅰ)知,故
.
由两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB=2.因为四边形ABCD为菱形,,则BD=2,所以OB=1,.
所以. 8分
所以.
设平面BFC的法向量为则有 所以
取,得. 12分
易知平面的法向量为.
由二面角A-FC-B是锐角,得
.
所以二面角A-FC-B的余弦值为. 14分
考点:本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系,角的计算。
点评:典型题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。证明过程中,往往需要将立体几何问题转化成平面几何问题加以解答。本题解答,通过建立适当的空间直角坐标系,利用向量的坐标运算,简化了繁琐的证明过程,实现了“以算代证”,对计算能力要求较高。
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