题目内容
如图,在四边形中,,,点为线段上的一点.现将沿线段翻折到(点与点重合),使得平面平面,连接,.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)若,且点为线段的中点,求二面角的大小.
(Ⅰ)连接,交于点,在四边形中,
证得,推出,从而,得到平面。
(Ⅱ)二面角的大小为.
解析试题分析:(Ⅰ)连接,交于点,在四边形中,
∵,
∴,∴,
∴
又∵平面平面,且平面平面=
∴平面 ……… 6分
(Ⅱ)如图,以为原点,直线,分别为轴,轴,平面内过且垂直于直线的直线为轴建立空间直角坐标系,可设点
又,,,,且由,有
,解得,∴ 8分
则有,设平面的法向量为,
由,即,故可取 10分
又易取得平面的法向量为,并设二面角的大小为,
∴,∴
∴二面角的大小为. 12分
考点:本题主要考查立体几何中的垂直关系,角的计算。
点评:典型题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。证明过程中,往往需要将立体几何问题转化成平面几何问题加以解答。本题解答,通过建立适当的空间直角坐标系,利用向量的坐标运算,简化了繁琐的证明过程,实现了“以算代证”,对计算能力要求较高。
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