Question

选修4-1：几何证明选讲
如图设M为线段AB中点，AE与BD交于点C∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，EM交BD于G．
（1）写出图中三对相似三角形，并对其中一对作出证明；
（2）连接FG，设α=45°，AB=4，AF=3，求FG长．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据已知条件，∠DME=∠A=∠B=α，结合图形上的公共角，即可推出△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，AMF∽△BGM；
（2）根据相似三角形的性质，推出BG的长度，依据锐角三角函数推出AC的长度，即可求出CG、CF的长度，继而推出FG的长度．
解答：解：（1）△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM，…（3分）
∵∠AMD=∠B+∠D，∠BGM=∠DMG+∠D
又∠B=∠A=∠DME=α
∴∠AMF=∠BGM，
∴△AMF∽△BGM，…（5分）
（II）连接FG，
由（1）知，△AMF∽△BGM，
，
∠α=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
AB=，AC=BC=4，CF=AC-AF=1，
CG=4-，
∴由勾股定理得FG=．…（10分）
点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的性质，解题的关键找到相似的三角形，根据其性质求出BG、AC的长度．