Question

【题目】已知椭圆 的右焦点为 ，且点 在椭圆 上.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过椭圆 上异于其顶点的任意一点 作圆 的两条切线，切点分别为 （ 不在坐标轴上），若直线 在 轴， 轴上的截距分别为 ，证明： 为定值.

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得：c=1，所以a2=b2+1，
又因为点 在椭圆C上，所以 可解得a2=4，b2=3，
所以椭圆标准方程为 .
（2）证明：由（1）知 ，设点 ，因为 不在坐标轴上，所以 ，直线 的方程为 化简得 ，同理可得直线 的方程为： ，把点 的坐标代入得 ，所以直线 的方程为 ，令 ，得 ；令 ，得 ，所以 又点 在椭圆 上，所以： ，即 为定值
【解析】（1）根据条件和椭圆的定义及性质可得a，b，c的关系，解方程即得a，b，c的值。
（2）根据（1）可得椭圆C1 ， 利用圆的切线性质分别设出直线QM，OM，QN，OM，最后消去Q，M，N的坐标，即可得到定值。