题目内容

已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1（n∈N*，n≥2），且a4=81
（1）求数列的前三项a1、a2、a3的值；
（2）是否存在一个实数λ，使得数列{
an+λ2n
}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；求数列an通项公式．
分析：（1）直接把n=3，2，1代入an=2an-1+2n-1（n∈N*，n≥2），再借助于a4=81，即可求出数列的前三项；
（2）先假设存在一个实数λ符合题意，得到
an+λ
2n
-
an-1+λ
2n-1
必为与n无关的常数，整理
an+λ
2n
-
an-1+λ
2n-1
即可求出实数λ，进而求出数列{an}的通项公式．
解答：解：（1）由an=2an-1+2n-1（n≥2）?a4=2a3+24-1=81?a3=33
同理可得a2=13，a1=5（3分）
（2）假设存在一个实数λ符合题意，则
an+λ
2n
-
an-1+λ
2n-1
必为与n无关的常数
∵
an+λ
2n
-
an-1+λ
2n-1
=
an-2an-1-λ
2n
=
2n-1-λ
2n
=1-
1+λ
2n
（5分）
要使
an+λ
2n
-
an-1+λ
2n-1
是与n无关的常数，则
1+λ
2n
=0，得λ=-1
故存在一个实数λ=-1，使得数列{
an+λ
2n
}为等差数列（8分）
由（2）知数列{
an+λ
2n
}的公差d=1，∴
an-1
2n
=
a1-1
21
+(n-1)•1=n+1
得an=（n+1）•2n+1（13分）
点评：本题主要考查数列递推关系式的应用以及等差关系的确定．解决第二问的关键在于由数列{
an+λ
2n
}为等差数列，得到
an+λ
2n
-
an-1+λ
2n-1
必为与n无关的常数，进而求出对应实数λ的值．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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