题目内容
【题目】己知定义在上的函数
的单增区间为
,且图象过点
.
(1)求函数的解析式;
(2)对任意的,存在常数
使得
成立,求整数
的值.
【答案】(1)(2)
或0.
【解析】
(1)根据单调区间求出,再根据二次函数的图象过
解出
即可求解.
(2)(法1)令,条件等价于对任意的
,存在常数
使得
成立,只需
,设
,根据二次函数的图象与性质,讨论
的取值范围,求出函数的最小值
,即
,根据函数
的单调性即可
的最大值,
(法2)令,根据题意条件等价于对任意的
,存在常数
使得
成立,函数
在
上的最大值不小于
,根据
的单调性即可求出最大值为
,从而只需条件等价于对任意的
,
,只需
即可.
(1)由题知,解得
,
因为二次函数的图象过点,所以
,解得
,
所以;
(2)(法1)令,则题目中条件等价于对任意的
,
存在常数使得
成立,
也就是等价于关于t的函数在
上的最小值不小于
.
下面求函数在
上的最小值.
当,即
时,
;
当,即
时,
;
记函数在
上的最小值为
,
则,
于是原命题就等价于:存在常数,使得
成立,
即等价于关于m的函数的最大值不小于
即可,
因为函数在
上是单调递减的,所以
,
所以,解得
,又
,所以
或0.
(法2)令,则题目中条件等价于对任意的
,
存在常数使得
成立,
也就是等价于关于m的函数在
上的最大值不小于
.
因为,所以函数
在
上单减,
因此,即
,
则题目中条件等价于对任意的,
,
即函数在
上的最小值不小于
.
又,
,
所以,
解得,又
,
所以或0.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为检查某工厂所生产的8万台电风扇的质量,随机抽取20台,其无故障连续使用时限(单位:h)统计如下:
分组 | 频数 | 频率 | 频率/组距 |
1 | 0.05 | 0.0025 | |
1 | 0.05 | 0.0025 | |
2 | 0.10 | 0.0050 | |
3 | 0.15 | 0.0075 | |
4 | 0.20 | 0.0100 | |
6 | 0.30 | 0.0150 | |
2 | 0.10 | 0.0050 | |
1 | 0.05 | 0.0025 | |
合计 | 20 | 1 | 0.050 |
(1)作出频率分布直方图;
(2)估计8万台电风扇中无故障连续使用时限不低于280h的有多少台;
(3)假设同一组中的数据用该组区间的中点值代替,估计这8万台电风扇的平均无故障连续使用时限.