Question

8．已知在极坐标系下，曲线C：ρ（cosα+2sinα）=4（α为参数）与点A（2，$\frac{π}{3}$）．
（1）求曲线C与点A的位置关系；
（2）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标的x轴正半轴重合，直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-2t}\\{y=-2+4t}\end{array}\right.$，求曲线C与直线L的交点坐标．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C的直角坐标方程和点A（2，$\frac{π}{3}$）的直角坐标，由此能判断曲线C与点A的位置关系．
（2）曲线C的直角坐标方程为：x+2y-4=0，直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-2t}\\{y=-2+4t}\end{array}\right.$消去参数t，得2x+y=0，联立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4=0}\\{2x+y=0}\end{array}\right.$，能求出曲线C与直线L的交点坐标．

解答 解：（1）∵在极坐标系下，曲线C：ρ（cosα+2sinα）=4（α为参数），
∴曲线C的直角坐标方程为：x+2y-4=0，
∵在极坐标系下，点A（2，$\frac{π}{3}$），
∴x=$2cos\frac{π}{3}$=1，y=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴A的直角坐标为A（1，$\sqrt{3}$），
∵1+2$\sqrt{3}$-4≠0，∴点A不在曲线C上．
（2）∵曲线C的直角坐标方程为：x+2y-4=0，
直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-2t}\\{y=-2+4t}\end{array}\right.$消去参数t，得2x+y=0，
解方程$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4=0}\\{2x+y=0}\end{array}\right.$，得x=-$\frac{4}{3}$，y=$\frac{8}{3}$，
∴曲线C与直线L的交点坐标（-$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{3}$）．

点评 本题考查曲线与点的位置关系的判断，考查曲线与直线的交点坐标的求法，是基础题，解题时要注意极坐标方程、参数方程和直角坐标方程转化公式的合理运用．