Question

【题目】已知点A（2，8），B（x1 ， y1），C（x2 ， y2）在抛物线 上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）

（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（2）求线段BC中点M的坐标；
（3）求BC所在直线的方程.

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】由点A（2，8）在抛物线y2=2px 上，有 ，解得p=16.所以抛物线方程为y2=32x ，焦点F的坐标为（8，0）.

（2）

【解答】如图，由于F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且 ，设点M的坐标为 ，则 ，解得 x0=11,y0=-4 ，

所以点M的坐标为（11，－4）．

（3）

【解答】由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为：

由 消x得ky2-32y-32(11k+4)=0 ，

所以 ，由（2）的结论得 ，解得k=-4,

因此BC所在直线的方程为：4x+y-40=0 。

【解析】（1）由点A在抛物线上，将A点坐标代入，求出参数P，求解即可（2）由于F（8，0）是△ABC的重心，则重心与焦点重合，由重心坐标公式可求M是BC的中点。（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为： ，解出k即可。