题目内容
18．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+a}{x}$，（1）若a=1对于任意的x∈（0，+∞），f（x）＞m恒成立，求m的取值范围；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
分析 （1）由基本不等式求得f（x）的最小值，由恒成立思想即可得到m的范围；
（2）由题意可得-a＜x2+2x在[1，+∞）恒成立，由于二次函数的值域求法，可得最小值，即可得到a的范围．
解答 解：（1）a=1时，f（x）=x+$\frac{1}{x}$+2，
由x＞0时，可得f（x）≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+2=4，
当且仅当x=1时，取得最小值4，
则有m＜4．即m的取值范围是（-∞，4）；
（2）对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
即为-a＜x2+2x在[1，+∞）恒成立，
由x2+2x=（x+1）2-1在[1，+∞）递增，
即有x=1时取得最小值3，
则有-a＜3，解得a＞-3．
则a的取值范围是（-3，+∞）．
点评 本题考查函数的恒成立问题的解法，注意运用参数分离和函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的坐标是（cosα，$\frac{3}{5}$），则cosα-sinα=$-\frac{7}{5}$．
6．现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭正四面体容器，则该容器棱长最小值为（ ）
| A． | 4+2$\sqrt{2}$ | B． | 4+2$\sqrt{3}$ | C． | 4+2$\sqrt{6}$ | D． | 6+2$\sqrt{3}$ |
13．在一次测量中，误差在±1%之内称为合格测量．某学生在一次测量中合格与否是等可能的．现对该学生的测量结果进行考核，共进行5次测量，记分规则如下表：
（1）求该学生得0分的概率；
（2）记ξ为该学生所得的分数，求ξ的分布列和数学期望．
| 合格次数 | 0～2 | 3 | 4 | 5 |
| 记分 | 0 | 3 | 6 | 10 |
（2）记ξ为该学生所得的分数，求ξ的分布列和数学期望．
3．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
（1）用分层抽样的方法在喜欢打篮球的学生中抽6人，其中男生抽多少人？
（2）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女生的概率．
（3）为了研究喜欢打蓝球是否与性别有关，由公式K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+d）（c+d）（a+c）（b+d）}$计算出K2≈8.333，那么你能否有99.5%的把握认为是否喜欢打篮球与性别有关？
附临界值表：
| 喜爱打篮球 | 不喜爱打篮球 | 合计 | |
| 男生 | 20 | 5 | 25 |
| 女生 | 10 | 15 | 25 |
| 合计 | 30 | 20 | 50 |
（2）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女生的概率．
（3）为了研究喜欢打蓝球是否与性别有关，由公式K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+d）（c+d）（a+c）（b+d）}$计算出K2≈8.333，那么你能否有99.5%的把握认为是否喜欢打篮球与性别有关？
附临界值表：
| P（K2≥k） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |