题目内容
【题目】如图,三棱锥中,
平面
,
,
,
,
是
的中点,
是
的中点,点
在
上,
.
(1)证明:平面平面
;
(2)证明:平面
;
(3)求二面角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3).
【解析】
(1)利用余弦定理计算出,由勾股定理可得出
,再由
平面
,可得出
,利用直线与平面垂直的判定定理可证明出
平面
,然后利用平面与平面垂直的判定定理可证明出平面
平面
;
(2)证法一:过点作
交
于点
,取
的中点
,连接
、
,证明四边形
为平行四边形,可得出
,然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出
平面
;
证法二:取中点
,连接
、
,证明平面
平面
,即可得出
平面
;
(3)过点作
,垂足为
,在直角
中过点
作
,垂足为
,证明出
平面
,可知二面角
的平面角为
,计算出
中的
和
,然后利用锐角三角函数的定义求出
即可.
(1)在中,由余弦定理得
,
即,解得
,
,则
,
.
因为平面
,
平面
,所以
.
,
、
平面
,
平面
.
平面
,
平面
平面
;
(2)证法一:过点作
交
于点
,取
的中点
,连接
、
.
点
为
的中点,
为
的中点,
,
.
又是
的中点,
是
的中点,点
在
上,
,且
,
,
,
且
,
所以四边形为平行四边形,
,
平面
,
平面
,
平面
;
法二:取中点
,连接
、
,
、
分别为
、
的中点,
.
平面
,
平面
,
平面
.
为
的中点,
为
的中点,
,则
,
,即
,
,
.
平面
,
平面
,
平面
.
因为,所以平面
平面
,
平面
,所以
平面
;
(3)过点作
,垂足为
,在平面
内过点
作
,垂足为
,
平面
,
平面
,
,
,
,
平面
,
平面
,
,
,
,
平面
,
平面
,
,则
为二面角
的平面角,
由等面积法可得,
平面
,
平面
,
,
在中,
,
,
,
由等面积法得,则
.
因此,二面角的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】当前,以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试,是激发学生、家长和学校积极开展体育活动,保证学生健康成长的有效措施.程度2019年初中毕业生升学体育考试规定,考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试,三项考试满分50分,其中立定跳远15分,掷实心球15分,1分钟跳绳20分.某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况,随机抽取了100名学生进行测试,得到下边频率分布直方图,且规定计分规则如下表:
每分钟跳绳个数 | ||||
得分 | 17 | 18 | 19 | 20 |
(Ⅰ)现从样本的100名学生中,任意选取2人,求两人得分之和不大于35分的概率;;
(Ⅱ)若该校初三年级所有学生的跳绳个数服从正态分布
,用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差,已知样本方差
(各组数据用中点值代替).根据往年经验,该校初三年级学生经过一年的训练,正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步,假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个,现利用所得正态分布模型:
预计全年级恰有2000名学生,正式测试每分钟跳182个以上的人数;(结果四舍五入到整数)
若在全年级所有学生中任意选取3人,记正式测试时每分钟跳195以上的人数为ξ,求随机变量的分布列和期望.
附:若随机变量服从正态分布
,则
,
,
.
【题目】年
月,电影《毒液》在中国上映,为了了解江西观众的满意度,某影院随机调查了本市观看影片的观众,现从调查人群中随机抽取部分观众.并用如图所示的表格记录了他们的满意度分数(
分制),若分数不低于
分,则称该观众为“满意观众”,请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表(如图所示),解决下列问题.
组别 | 分组 | 频数 | 频率 |
第 | |||
第 | |||
第 | |||
第 | |||
第 | |||
合计 |
(1)写出、
的值;
(2)画出频率分布直方图,估算中位数;
(3)在选取的样本中,从满意观众中随机抽取名观众领取奖品,求所抽取的
名观众中至少有
名观众来自第
组的概率.