Question

11．某高中组织50人参加自主招生选拔考试，其数学科测试全部成绩介于50分与150分之间（无满分），将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，70）；第二组[70，90）；…，第五组[130，150）．下图为按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设m，n表示某两位同学的数学测试成绩，且m，n∈[50，70）∪[130，150），求事件“|m-n|＞20”的概率．

Answer 1

分析 （I）由频率分布直方图可得：20×（0.019+4a+2a+a+0.003）=1，由此求得a的值．
（II）分别求得成绩在[50，70）的人数，成绩在[130，150）的人数；分类讨论求得满足|m-n|＞20的基本事件的个数，求得所有的基本事件的个数，即可求得事件“|m-n|＞20”的概率．

解答 解：（I）由频率分布直方图可得：20×（0.019+4a+2a+a+0.003）=1，
解之得：a=0.004．
（II）由直方图可知，成绩在[50，70）的人数为50×20×0.003=3（人），设这3个人分别为x，y，z；
成绩在[130，150）的人数为50×20×0.004=4（人），设这4个人为为A，B，C，D．
当m，n∈[50，70）时，有xy，yz，xz，共3种情况；
当m，n∈[130，150）时，由AB，AC，AD，BC，BD，CD，6种情况；  
当m，n分别在[50，70）和[130，150）内时，xA，xB，xC，xD，…，zD，12种情况，
故所有的基本事件共有3+6+12=21种，
故事件“|m-n|＞20”所包含的基本事件有12种，
所以$P（{|m-n|＞20}）=\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$．

点评 本题主要考查频率分布直方图，古典概率及其计算公式，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．