题目内容
【题目】设数列的前项和为, 且成等差数列。
(1证明为等比数列,并求数列的通项;
(2)设,且,证明。
(3)在(2)小问的条件下,若对任意的,不等式恒成立,试求实数λ的取值范围.
【答案】(1);(2)见解析;(3).
【解析】试题分析:当时,由 ,作差可得两边同时除以即可构造新数列求解了;
(2)由(1)有,即可采用裂项相消的方法求和得即可证明
;
(3)恒成立时,即()恒成立,令,讨论求解即可.
试题解析:
(1)在中
令,得即,①
令,得即,②
又,③
则由①②③解得,
当时,由 ,得到
则
又,则
是以为首项, 为公比的等比数列,
,即
(2),则
则
.
(3)当恒成立时,即()恒成立.
设(),
当时, 恒成立,则满足条件;
当时,由二次函数性质知不恒成立;
当时,由于对称轴 ,则在上单调递减,
恒成立,则满足条件,
综上所述,实数λ的取值范围是.
【题目】 “中国式过马路”是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃,即“凑够一撮人就可以走了,和红绿灯无关.”出现这种现象是大家受法不责众的“从众”心理影响,从而不顾及交通安全.某校对全校学生过马路方式进行调查,在所有参与调查的人中,“跟从别人闯红灯”“从不闯红灯”“带头闯红灯”人数如表所示:
跟从别人闯红灯 | 从不闯红灯 | 带头闯红灯 | |
男生 | 800 | 450 | 200 |
女生 | 100 | 150 | 300 |
(Ⅰ)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取n人,已知“跟从别人闯红灯”的人抽取了45 人,求n的值;
(Ⅱ)在“带头闯红灯”的人中,将男生的200人编号为1,2,…,200;将女生的300人编号为201,202,…,500,用系统抽样的方法抽取4人参加“文明交通”宣传活动,若抽取的第一个人的编号为100,把抽取的4人看成一个总体,从这4人中任选取2人,求这两人均是女生的概率.
【题目】某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯,利用简单随机抽样的方法在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:
喜欢甜品 | 不喜欢甜品 | 合计 | |
南方学生 | 60 | 20 | 80 |
北方学生 | 10 | 10 | 20 |
合计 | 70 | 30 | 100 |
(1)根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;
(2)根据(1)的结论,你能否提出更好的调查方法来了解该校大学新生的饮食习惯,说明理由.