题目内容

【题目】设数列的前项和为 成等差数列。

(1证明为等比数列,并求数列的通项;

(2)设,且,证明

(3)在(2)小问的条件下,若对任意的,不等式恒成立,试求实数λ的取值范围.

【答案】(1);(2)见解析;(3).

【解析】试题分析:当时,由 ,作差可得两边同时除以即可构造新数列求解了;

(2)由(1)有,即可采用裂项相消的方法求和得即可证明

(3)恒成立时,即)恒成立,令,讨论求解即可.

试题解析:

(1)在

,得,①

,得,②

,③

则由①②③解得

时,由 ,得到

,则

是以为首项, 为公比的等比数列,

,即

2,则

.

3)当恒成立时,即恒成立.

),

时, 恒成立,则满足条件;

时,由二次函数性质知不恒成立;

时,由于对称轴 ,则上单调递减,

恒成立,则满足条件,

综上所述,实数λ的取值范围是.

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