Question

18．记f（x）=ax²-bx+c，若不等式f（x）＞0的解集为（1，3），试解关于t的不等式f（2^t+8）＜f（2+2^2t）．

Answer 1

分析 根据二次函数与对应不等式的关系，得出f（x）的单调性与单调区间，再利用f（x）的单调性
把不等式f（2^t+8）＜f（2+2^2t）转化为8+2^t＞2+2^2t，求出该不等式的解集即可．

解答 解：根据题意，得
f（x）=a（x-x₁）（x-x₂）=a（x-1）（x-3），且a＜0，
所以二次函数f（x）在区间[2，+∞）上是减函数，
又因为8+2^t＞8，2+2^2t≥2，
所以，由二次函数的单调性得，
不等式f（2^t+8）＜f（2+2^2t）等价于
8+2^t＞2+2^2t，
即2^2t-2^t-6＜0，
解得2^t＜3，
即t＜log₂3；
所以该不等式的解集为{t|t＜log₂3}．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是中档题目．