Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA⊥平面ABCD，PC与平面ABCD所成角为45°
（1）若E为PC的中点，求证：PD⊥平面ABE；
（2）若CD= ，求点B到平面PCD的距离．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD．

∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，而AE平面PAC，∴CD⊥AE．

∵PC与平面ABCD所成角为45°

∴AC=PA，

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，又PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD，

而PD平面PCD，∴AE⊥PD．

∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，

由面面垂直的性质定理可得BA⊥平面PAD，AB⊥PD，

又AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．

（2）解：CD= ，可得AC=3，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，∴PC=3 ，

由（1）的证明知，CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC，

∵AB⊥AD，△ABC为正三角形，∴∠CAD=30°，

∵AC⊥CD，∴CD=ACtan30°= ．

设点B的平面PCD的距离为d，则VB﹣PCD= × ×3 × ×d= d．

在△BCD中，∠BCD=150°，∴S△BCD= ×3× sin150°= ．

∴VP﹣BCD= × ×3= ，

∵VB﹣PCD=VP﹣BCD，∴ d= ，解得d= ，

即点B到平面PCD的距离为 ．

【解析】（1）利用线面垂直的判定与性质定理可得CD⊥平面PAC，CD⊥AE．利用等腰三角形的性质与线面垂直的判定定理可得：AE⊥平面PCD，可得AE⊥PD．利用面面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理可得AB⊥PD，进而证明结论．（2）设点B的平面PCD的距离为d，利用VB﹣PCD=VP﹣BCD即可得出．
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．