Question

【题目】如图椭圆的离心率为， 其左顶点在圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆的另一个交点为，与圆的另一个交点为.是否存在直线，使得？ 若存在，求出直线的斜率；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

由顶点在圆上可得，再根据离心率公式可得的值，结合的关系，可求出的值，然后得到所求的方程

联立直线与椭圆方程求出，然后求得圆心到直线的距离，运用圆的弦长公式可得，化简整理，即可判断是否存在

（1）因为椭圆的左顶点在圆上，所以.

又离心率为，所以，所以,

所以, 所以的方程为.

（2）（i）设点，显然直线存在斜率，

设直线的方程为， 与椭圆方程联立得,

化简得到，

因为为上面方程的一个根，所以，

所以 , 所以

圆心到直线的距离为， .

因为，

代入得到.

因为 所以 .