Question

3．已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{4}$+y²=1，椭圆C₂的中心在坐标原点，焦点在y轴上，与C₁有相同的离心率，且过椭圆C₁的长轴端点．
（Ⅰ）求椭圆C₂的标准方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C₁和C₂上，若$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{OA}$，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过设椭圆C₂的方程为：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{4}=1（a＞2）$，由C₁方程可得$\frac{{{a^2}-4}}{a^2}=\frac{3}{4}$，计算即得结论；
（Ⅱ）通过$\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}$及（Ⅰ）知可设直线AB的方程为y=kx，并分别代入两椭圆中、利用$\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}$，计算即可．

解答 解：（Ⅰ）由C₁方程可得$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
依题意可设椭圆C₂的方程为：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{4}=1（a＞2）$，
由已知C₁的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则有$\frac{{{a^2}-4}}{a^2}=\frac{3}{4}$，解得a²=16，
故椭圆C₂的方程为$\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{4}=1$；
（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}$及（Ⅰ）知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，
因此可设直线AB的方程为y=kx，
将y=kx代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$中，解得${x_1}^2=\frac{4}{{1+4{k^2}}}$；
将y=kx代入$\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{4}=1$中，解得${x_2}^2=\frac{16}{{4+{k^2}}}$．
又由$\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}$，得${x_2}^2=4{x_1}^2$，
即$\frac{16}{{1+4{k^2}}}=\frac{16}{{4+{k^2}}}$，解得k=±1．
故直线AB的方程为y=x或y=-x．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．